EL PAÍS y Materia proponen a sus lectores, cada semana, un juego de lógica. Los
lectores pueden enviar sus soluciones en los comentarios, y plantear
nuevos acertijos y juegos. La respuesta correcta será ofrecida en la
columna de la semana siguiente.
La recompensa que el mítico inventor del ajedrez le pidió al rey de
la India constituye uno de los más conocidos ejemplos del vertiginoso
crecimiento de las progresiones geométricas. Un grano de trigo por la
primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera,
ocho por la cuarta… La intuición nos dice que con un saco de trigo será
suficiente, y sin embargo no bastaría la cosecha mundial de muchos años
para suministrar los aproximadamente 18 trillones y medio de granos
resultantes.
El cálculo es sencillo, sin necesidad de echar mano de las fórmulas
matemáticas: basta con ver que los granos de cada casilla superan en una
unidad a los de todas las anteriores juntas: 2=1+1, 4=2+1+1, 8=4+2+1+1…
En la casilla 64ª, tras 63 duplicaciones, habrá 263 granos, luego en todas las anteriores juntas habrá 263-1, y en total: 263+263-1=264-1.
En cuanto a la torre de Hanói, hemos visto que para trasladar tres
discos (numerados de menor a mayor: 1, 2 y 3) son necesarios un mínimo
de siete movimientos, siguiendo la secuencia 1213121. Ahora bien, para
dos discos la secuencia es 121, o sea, que lo que hemos hecho ha sido
trasladar una torre de dos discos, luego desplazar el tercer disco y por
último volver a trasladar la torre de dos discos para ponerla encima
del tercero. Es fácil comprobar que, análogamente, con cuatro discos la
secuencia es 121312141213121: primero trasladamos una torre de tres
discos, luego desplazamos el cuarto, y por último volvemos a trasladar
la torre de tres para ponerla encima del cuarto disco. Y así sucesiva e
indefinidamente.
Así pues, a medida que aumenta el número de discos, el número de
movimientos necesarios para trasladarlos crece según la progresión 1,
1+1+1=3, 3+1+3=7, 7+1+7=15, 15+1+15=31… Pero 1, 3, 7, 15, 31… son las
sucesivas potencias de 2 menos 1; por lo tanto, para trasladar una torre
de 64 discos harán falta 264-1 movimientos, tantos como granos de trigo le pidiera al rey de la India el inventor del ajedrez.
Un número astronómico, sin duda, pero ni mucho menos el mayor de los
que pueden proliferar en un damero. Consideremos, sin ir más lejos, el
número de jugadas posibles en una partida de ajedrez. En su primera
jugada, las blancas tienen 20 opciones (adelantar una o dos casillas
cada uno de los ocho peones y mover cada caballo a una de las dos
casillas accesibles), y a cada apertura pueden responder las negras,
asimismo, de 20 maneras distintas, con lo que tenemos 400 combinaciones
posibles. Tras el segundo movimiento de las blancas, las situaciones
posibles son ya más de 5.000, y más de 70.000 tras el segundo movimiento
de las negras (exactamente 72.084). Tras el tercer movimiento de las
blancas hay más de 800.000 posiciones posibles, y más de 9.000.000 tras
el tercero de las negras… Si siguiéramos adelante, llegaríamos a una
cifra del orden de los septillones, frente a la cual los 18 trillones y
medio de granos de trigo del inventor del ajedrez se convierten en una
insignificante migaja.
Pero volvamos a los números abarcables: acabamos de ver que las
situaciones posibles tras el segundo movimiento de las blancas son más
de 5.000, pero… ¿cuántas son exactamente?
Y hablando de las primeras jugadas del ajedrez, ¿cuál es la partida más corta posible?
